Что характеризует напряжённость электрического поля
Напряжённость электрического поля — это векторная физическая величина, которая описывает силовое действие электрического поля на заряд в данной точке пространства. Формально она определяется как сила, действующая на единичный положительный пробный заряд:
$$
\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}
$$
где:
- $\vec{E}$ — напряжённость поля (вектор),
- $\vec{F}$ — сила, действующая на заряд,
- $q$ — величина пробного заряда (подразумевается, что заряд достаточно мал и не искажает исходное поле).
Направление вектора $\vec{E}$ совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если заряд отрицательный, сила будет направлена противоположно вектору напряжённости.
Единицы измерения
В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр ($\text{В/м}$):
$$
[E] = 1\ \text{В/м}
$$
Это эквивалентно ньютонам на кулон ($\text{Н/Кл}$), что напрямую следует из определения:
$$
1\ \text{В/м} = 1\ \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}
$$
На практике могут встречаться и другие единицы (например, $\text{кВ/м}$, $\text{МВ/м}$).
Как рассчитывать напряжённость: основные подходы
1. По определению (через силу и заряд)
Если известна сила $\vec{F}$, действующая на заряд $q$, то напряжённость в этой точке:
$$
E = \frac{F}{q}
$$
Пример 1. На заряд $q = 2\ \text{мкКл} = 2 \cdot 10^{-6}\ \text{Кл}$ действует сила $F = 0{,}01\ \text{Н}$. Найти напряжённость поля в этой точке.
Решение:
$$
E = \frac{0{,}01}{2 \cdot 10^{-6}} = 5000\ \text{В/м} = 5\ \text{кВ/м}
$$
2. Напряжённость от точечного заряда
Для точечного заряда $Q$ напряжённость на расстоянии $r$ от него (в вакууме):
$$
E = k \frac{|Q|}{r^2}
$$
где $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9\ \mathrm{Н\thinspace·м}^2/\text{Кл}^2$, а $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \text{Ф/м}$ — электрическая постоянная.
Пример 2. Точечный заряд $Q = 5\ \text{нКл} = 5 \cdot 10^{-9}\ \text{Кл}$. Найти напряжённость на расстоянии $r = 0{,}1\ \text{м}$.
Решение:
$$
E = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}1)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{0{,}01} = 4500\ \text{В/м}
$$
3. Принцип суперпозиции
Если поле создаётся несколькими зарядами, результирующая напряжённость равна векторной сумме напряжённостей от каждого заряда:
$$
\vec{E}_{\text{сум}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \dots + \vec{E}_n
$$
Пример 3. Два точечных заряда: $Q_1 = +3\ \text{нКл}$ и $Q_2 = -3\ \text{нКл}$, расположены на расстоянии $d = 0{,}2\ \text{м}$ друг от друга. Найти напряжённость посередине между ними.
Расстояние от каждого заряда до середины: $r = 0{,}1\ \text{м}$. В середине оба вектора направлены в одну сторону (от $Q_1$ к $Q_2$), поэтому складываются по модулю.
$$
E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-9}}{(0{,}1)^2} = 2700\ \text{В/м},\quad
E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-9}}{(0{,}1)^2} = 2700\ \text{В/м}
$$
$$
E_{\text{сум}} = E_1 + E_2 = 5400\ \text{В/м}
$$
4. Связь с разностью потенциалов (для однородного поля)
В однородном электрическом поле (например, между пластинами плоского конденсатора) напряжённость связана с разностью потенциалов $U$ и расстоянием $d$:
$$
E = \frac{U}{d}
$$
Пример 4. Между пластинами конденсатора приложено напряжение $U = 300\ \text{В}$, расстояние между пластинами $d = 0{,}03\ \text{м}$. Найти напряжённость.
Решение:
$$
E = \frac{300}{0{,}03} = 10\ 000\ \text{В/м} = 10\ \text{кВ/м}
$$
Частные случаи расчёта напряжённости: типовые конфигурации
1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
При поверхностной плотности заряда $\sigma$ ($\text{Кл/м}^2$):
$$
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad\text{(в вакууме)},\qquad
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0\varepsilon_r}\quad\text{(в среде)}
$$
Пример 5. Плоскость заряжена с плотностью $\sigma = 10^{-8}\ \text{Кл/м}^2$, находится в воздухе ($\varepsilon_r \approx 1$).
Решение:
$$
E = \frac{10^{-8}}{2 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}} \approx \frac{10^{-8}}{1{,}77 \cdot 10^{-11}} \approx 565\ \text{В/м}
$$
2. Поле между пластинами плоского конденсатора (однородное поле)
Внутри между пластинами (вдали от краёв) поле однородно:
$$
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon_r},\qquad
E = \frac{U}{d}
$$
Пример 6. Расстояние между пластинами $d = 2\ \text{мм} = 0{,}002\ \text{м}$, напряжение $U = 500\ \text{В}$.
Решение:
$$
E = \frac{500}{0{,}002} = 250\ 000\ \text{В/м} = 250\ \text{кВ/м}
$$
3. Поле заряженной сферы (снаружи и внутри)
Для сферы радиуса $R$ с общим зарядом $Q$:
— Снаружи ($r \ge R$): $E = k \dfrac{|Q|}{r^2}$
— Внутри ($r < R$): $E = 0$
Пример 7. Сфера радиусом $R = 0{,}1\ \text{м}$ имеет заряд $Q = 1\ \text{нКл} = 10^{-9}\ \text{Кл}$. Найти напряжённость на $r = 0{,}2\ \text{м}$ и внутри ($r = 0{,}05\ \text{м}$).
Решение:
$$
E_{\text{снаружи}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{(0{,}2)^2} = \frac{9}{0{,}04} = 225\ \text{В/м}
$$
$$
E_{\text{внутри}} = 0\ \text{В/м}
$$
4. Поле длинной прямой нити (цилиндра) с линейной плотностью заряда
Для бесконечно длинной нити с линейной плотностью $\lambda$ ($\text{Кл/м}$) на расстоянии $r$:
$$
E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},\qquad
E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r}
$$
Пример 8. Линейная плотность $\lambda = 10^{-9}\ \text{Кл/м}$. Найти напряжённость на $r = 0{,}1\ \text{м}$ в воздухе.
Решение:
$$
E = \frac{10^{-9}}{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}1} \approx \frac{10^{-9}}{5{,}56 \cdot 10^{-12}} \approx 180\ \text{В/м}
$$
Связь напряжённости с потенциалом и градиентом
В электростатике напряжённость связана с потенциалом $\varphi$ через градиент:
$$
\vec{E} = -\nabla\varphi,\qquad
E_x = -\frac{d\varphi}{dx}
$$
Пример 9. Потенциал вдоль оси $x$ меняется линейно: $\varphi(x) = 100 — 2000x$ (В, м). Найти $E_x$.
Решение:
$$
E_x = -\frac{d}{dx}(100 — 2000x) = -(-2000) = 2000\ \text{В/м}
$$
Типичные инженерные задачи
Задача 1. Проверка на пробой диэлектрика (изоляция, конденсатор, зазор)
Цель: убедиться, что максимальная напряжённость не превысит пробивную напряжённость материала с учётом запаса.
$$
E_{\text{макс}} \approx \frac{U}{d},\qquad
E_{\text{макс}} < \frac{E_{\text{проб}}}{K_{\text{зап}}}
$$
Пример 12. Зазор $d = 0{,}8\ \text{мм}$, напряжение $U = 1{,}5\ \text{кВ}$, материал — воздух, $E_{\text{проб,возд}} \approx 3000\ \text{кВ/м}$. Запас $K_{\text{зап}} = 3$.
Решение:
$$
E = \frac{1500}{0{,}0008} = 1{,}875 \cdot 10^6\ \text{В/м} = 1875\ \text{кВ/м}
$$
$$
\frac{E_{\text{проб}}}{K_{\text{зап}}} = \frac{3000}{3} = 1000\ \text{кВ/м}
$$
$1875 > 1000$ — запас недостаточен. Нужно либо увеличить зазор, либо применить другой диэлектрик, либо снизить напряжение.
Загрузка...