Колебательный контур

Принцип действия

Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из индуктивности ($L$) и ёмкости ($C$), которые соединены последовательно или параллельно. Основная функция такого контура заключается в накоплении энергии и её периодическом обмене между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора.

Последовательный колебательный контур

При подключении источника переменного напряжения к последовательному колебательному контуру ток в цепи будет зависеть от частоты входного сигнала. На определённой частоте, называемой резонансной частотой (${\omega }_0$), полное сопротивление контура минимально, и амплитуда тока достигает максимума. Это явление называется резонансом. Резонансная частота определяется следующим образом:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

где:

• ${\omega }_0$ — угловая резонансная частота,
• $L$ — индуктивность катушки,
• $C$ — ёмкость конденсатора.

Частота резонанса в герцах ($f_0$) связана с угловой частотой через формулу:

$$f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$$

Таким образом, при резонансе реактивные сопротивления индуктивности и ёмкости компенсируют друг друга, и контур ведёт себя как чисто активное сопротивление.

Параллельный колебательный контур

Параллельные контуры также демонстрируют резонанс, однако здесь максимальный ток достигается при минимальной проводимости цепи. В параллельных контурах резонанс наступает тогда, когда реактивные проводимости катушки и конденсатора равны. Угловая резонансная частота также определяется формулой:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Математическое описание процессов

Рассмотрим процессы, происходящие в последовательном колебательном контуре.

Уравнения движения

Уравнение, описывающее изменение заряда на конденсаторе во времени, имеет вид:

$$\frac{d^{2}q(t)}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{dq(t)}{dt}+\frac{q(t)}{LC}=0$$

где:

• $q(t)$ — заряд на конденсаторе,
• $R$ — сопротивление контура,
• $L$ — индуктивность,
• $C$ — ёмкость.

Это уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое описывает гармонические колебания системы. Решение этого уравнения зависит от значения коэффициента затухания ($\gamma =R/2L$) и собственной частоты (${\omega }_0$). Если коэффициент затухания меньше собственной частоты ($\gamma <{\omega }_0$), система совершает затухающие колебания.

Затухание колебаний

Амплитуда колебаний уменьшается экспоненциально со временем:

$$A(t)=A_0{e}^{-\gamma t}$$

где:

• $A_0$ — начальная амплитуда,
• $\gamma$ — коэффициент затухания.

Время релаксации ($\tau$) — время, за которое амплитуда уменьшается в $e$ раз, определяется как:

$$\tau =\frac{1}{\gamma }=\frac{2L}{R}$$

Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура

Импеданс ($Z$) колебательного контура — это комплексное сопротивление, которое учитывает как активные, так и реактивные компоненты. Для последовательного контура импеданс определяется как:

$$Z=R+j\left(\omega L—\frac{1}{\omega C}\right)$$

где:

• $j$ — мнимая единица,
• $\omega$ — угловая частота входного сигнала.

Реактивная составляющая импеданса обусловлена индуктивностью и ёмкостью. При резонансе реактивные составляющие компенсируются, и импеданс становится минимальным.

Для параллельного контура импеданс выражается через проводимость:

$$Y=\frac{1}{R}+j\left(\omega C—\frac{1}{\omega L}\right)$$

Импеданс играет важную роль в анализе электрических цепей, особенно при расчёте характеристик фильтров и усилителей.

Колебательные контуры широко используются в радиотехнике, электронике и телекоммуникациях благодаря своей способности селективно усиливать или ослаблять сигналы определённых частот. Понимание принципов работы и математического описания процессов позволяет проектировать эффективные схемы и устройства.